Bài 2 GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
• Phương pháp thế • Phương pháp cộng đại số	Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số hoặc sử dụng máy tính cầm tay.

Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Hãy tính số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó, biết rằng: – Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây; – Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

1 PHƯƠNG PHÁP THẾ

Làm quen với phương pháp thế HD1 Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x + y = 3\\2x - 3y = 1\end{array}\right.$. Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:

1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn $y$ theo $x$ rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn $x$. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của $x$.
2. Sử dụng giá trị tìm được của $x$ để tìm giá trị của $y$ rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn. Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x - y = 3\\x + 2y = 4\end{array}\right.$ bằng phương pháp thế.

Giải

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có $y = 2x - 3$. Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được $x + 2(2x - 3) = 4$ hay $5x - 6 = 4$, suy ra $x = 2$.

Từ đó $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(2; 1)$.

Number

Luyện tập 1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a)	{x-3y=2 -2x+5y=1;
b)	{4x+y=-1 7x+2y=-3.

The image shows a cartoon mascot character resembling the mathematical Pi (π) symbol, colored in green, with eyes and a friendly expression, holding up one finger as if making a point. Next to the character is a speech bubble containing text in Vietnamese.

Ví dụ 2

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x - y = -2\\2x - 2y = 8\end{array}\right.$ bằng phương pháp thế.

Giải

Từ phương trình thứ nhất ta có $x = y - 2$. Thế vào phương trình thứ hai, ta được $2(y - 2) - 2y = 8$ hay $0y - 4 = 8$. (1)

Do không có giá trị nào của y thoả mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Luyện tập 2

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x + y = 3\\4x - 2y = -4\end{array}\right.$ bằng phương pháp thế.

Ví dụ 3

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+y=-2\\3x-3y=6\end{array}\right.$ bằng phương pháp thế.

Giải

Từ phương trình thứ nhất ta có $y = x - 2$. (2) Thế vào phương trình thứ hai, ta được $3x - 3(x - 2) = 6$ hay $0x = 0$. Ta thấy mọi giá trị của $x$ đều thoả mãn hệ thức (3). Với giá trị tuỳ ý của $x$, giá trị tương ứng của $y$ được tính bởi (2). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(x; x - 2)$ với $x \in \mathbb{R}$ tuỳ ý.

(3)

Luyện tập 3

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x + 3y = -1\\3x + 9y = -3\end{array}\right.$ bằng phương pháp thế.

Vận dụng 1

Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x, y ∈ ℕ*).

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn $x$, $y$.

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

12

2 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

HĐ2

Làm quen với phương pháp cộng đại số

2. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x + 2y = 3\\x - 2y = 6\end{array}\right.$. Ta thấy hệ số của $y$ trong hai phương trình là hai số đối nhau (tổng của chúng bằng 0). Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho theo hướng dẫn sau:

3. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn $x$. Giải phương trình này để tìm $x$.

4. Sử dụng giá trị $x$ tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm giá trị của $y$ rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 4

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x+5y=12\\2x+3y=4\end{array}\right.$ bằng phương pháp cộng đại số.

Giải

Cộng từng vế hai phương trình ta được $8y = 16$, suy ra $y = 2$. Thế $y = 2$ vào phương trình thứ hai ta được $2x + 3 \cdot 2 = 4$, hay $2x = -2$, suy ra $x = -1$. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(-1; 2)$.

Ví dụ 5

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}5x - 7y = 9\\5x - 3y = 1\end{array}\right.$ bằng phương pháp cộng đại số.

Giải

Trừ từng vế của hai phương trình, ta được $(5x - 5x) + (-7y + 3y) = 9 - 1$ hay $-4y = 8$, suy ra $y = -2$.

Thế $y = -2$ vào phương trình thứ nhất, ta được $5x - 7 \cdot (-2) = 9$ hay $5x + 14 = 9$, suy ra $x = -1$. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(-1; -2)$.

Number

A small, round, orange-yellow object that appears to be a fruit, likely a mandarin orange, clementine, or similar citrus fruit. The surface has a slightly textured appearance typical of citrus skin. The image has a white background.

Luyện tập 4

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a)	{-4x + 3y = 0 4x - 5y = -8;
b)	{4x + 3y = 0 x + 3y = 9.

Chú ý. Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).

Ví dụ 6

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x + 2y = 7\\2x - 3y = -4\end{array}\right.$ bằng phương pháp cộng đại số.

Giải

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}9x + 6y = 21\\4x - 6y = -8.\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được $13x = 13$ hay $x = 1$. Thế $x = 1$ vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có $3 \cdot 1 + 2y = 7$, suy ra $y = 2$. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(1; 2)$.

Luyện tập 5

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}4x + 3y = 6\\-5x + 2y = 4\end{array}\right.$ bằng phương pháp cộng đại số.

Ví dụ 7

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x - 5y = 2\\-6x + 10y = -4\end{array}\right.$ bằng phương pháp cộng đại số.

Giải

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ $\left\{\begin{array}{l}3x - 5y = 2\\-3x + 5y = -2.\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có $0x + 0y = 0$. Hệ thức này luôn thoả mãn với các giá trị tuỳ ý của $x$ và $y$.

Với giá trị tùy ý của $x$, giá trị của $y$ được tính nhờ hệ thức $3x - 5y = 2$, suy ra $y = \frac{3}{5}x - \frac{2}{5}$. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(x; \frac{3}{5}x - \frac{2}{5}\right)$ với $x \in \mathbb{R}$.

Luyện tập 6

Bằng phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-0,5x + 0,5y = 1\\-2x + 2y = 8.\end{array}\right.$

Number

3 SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM

CỦA HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cách tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay

Muốn tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay (MTCT), chúng ta cần sử dụng loại máy có chức năng này (thường có phím MODE). Trước hết ta phải viết hệ phương trình cần tìm nghiệm dưới dạng:

Chẳng hạn để tìm nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}2x + 3y - 4 = 0\\5x + 6y - 7 = 0\end{array}\right.$, ta viết nó dưới dạng $\left\{\begin{array}{l}2x + 3y = 4\\5x + 6y = 7\end{array}\right.$.

Khi đó, ta có $a_1 = 2$, $b_1 = 3$, $c_1 = 4$; $a_2 = 5$, $b_2 = 6$ và $c_2 = 7$. Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm các phím [MODE] [5] [1] (xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí $a_1$).

Bước 2. Nhập các số $a_1 = 2$, $b_1 = 3$, $c_1 = 4$; $a_2 = 5$, $b_2 = 6$ và $c_2 = 7$ bằng cách bấm:

2 3 4 5 6 7 (xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm [ ], màn hình cho $x = -1$; bấm tiếp phím [ ], màn hình cho $y = 2$ (xem màn hình sau bước 3). Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là $(-1; 2)$.

The image shows three calculator screens labeled as screens after step 1, step 2, and step 3 respectively. Screen 1 (Màn hình sau bước 1): Shows a calculator display with variables a, b, c and Math indicator. The display shows a fraction template '1/2' on the left side with placeholders for values a, b, c all showing 0, and the result is 0. Screen 2 (Màn hình sau bước 2): Shows the same calculator display with variables a, b, c and Math indicator. The fraction '1/2' is visible with values entered: a=2, b=5, c=5, with cursor on the last field showing 4, and the result is 7. Screen 3 (Màn hình sau bước 3): Shows a simpler calculator display with 'Y=' on the left, Math indicator with an arrow, and the result shown is 2. The three screens appear to demonstrate sequential steps of a calculation process on a scientific calculator.

Chú ý

1. Muốn xóa số vừa mới nhập thì bấm phím AC; muốn thay đổi số đã nhập ở một vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.

2. Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển đổi hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.

3. Nếu máy báo “Infinite Sol” thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm. Nếu máy báo “No–Solution” thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Thực hành Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a)	b)	c)
2x + 3y = -4 -3x - 7y = 13;	2x + 3y = 1 -x - 1,5y = 1;	8x - 2y - 6 = 0 4x - y - 3 = 0.

Number

Vận dụng 2

Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililit dung dịch acid HCl nồng độ 20% và số mililit dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acid HCl nồng độ 10%.

a) Gọi x là số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20%, y là số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua x và y:

– Thể tích của dung dịch acid HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu.

– Tổng số mililit acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất với hai ẩn là x, y. Giải hệ phương trình này để tính số mililít cần lấy của mỗi dung dịch acid HCl ở trên.

BÀI TẬP

1.6. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\begin{cases} x - y = 3 \\ 3x - 4y = 2; \end{cases}$ b) $\begin{cases} 7x - 3y = 13 \\ 4x + y = 2; \end{cases}$ c) $\begin{cases} 0,5x - 1,5y = 1 \\ -x + 3y = 2. \end{cases}$

1.7. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\left\{\begin{array}{l}3x + 2y = 6\\2x - 2y = 14;\end{array}\right.$ b) $\left\{\begin{array}{l}0,3x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5;\end{array}\right.$ c) $\left\{\begin{array}{l}-2x + 6y = 8\\3x - 9y = -12.\end{array}\right.$

1.8. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x - y = -3\\-2m^2x + 9y = 3(m + 3)\end{array}\right.$, trong đó $m$ là số đã cho. Giải hệ phương

trình trong mỗi trường hợp sau:

a) $m = -2$; b) $m = -3$; c) $m = 3$.

1.9. Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a)	12x - 5y + 24 = 0 -5x - 3y - 10 = 0;
b)	1/3x - y = 2/3 x - 3y = 2;

c) $\left\{\begin{array}{l}3x - 2y = 1\\-x + \frac{2}{3}y = 0;\end{array}\right.$

d) $\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{9}x - \frac{3}{5}y = 11\\\frac{2}{9}x + \frac{1}{5}y = -2.\end{array}\right.$

number

EM CÓ BIẾT ?

(Đọc thêm)

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp hình học

1. Đường thẳng $ax + by = c$

Ta đã biết một phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm; mỗi nghiệm là một cặp số $(x_0; y_0)$; mỗi cặp số lại có thể xem là tọa độ của một điểm trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Vậy trên mặt phẳng tọa độ, các điểm mà tọa độ của chúng là các nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn có quan hệ với nhau như thế nào?

Người ta đã chứng minh được rằng: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ tạo nên một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng $ax + by = c$. Nếu kí hiệu đường thẳng đó là $\Delta$ thì ta viết $\Delta: ax + by = c$.

• Khi $a \neq 0$ và $b \neq 0$, đường thẳng $\Delta$ trùng với đồ thị hàm số $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$;

• Khi $a = 0$ và $b \ne 0$, phương trình $ax + by = c$ có thể đưa về dạng $y = m$ (với $m = \frac{c}{b}$); $\Delta$ là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm $(0; m)$;

• Khi $a \neq 0$ và $b = 0$, phương trình $ax + by = c$ có thể đưa về dạng $x = n$ (với $n = \frac{c}{a}$); $\Delta$ là đường thẳng song song hoặc trùng với trục tung và cắt trục hoành tại điểm $(n; 0)$.

Dưới đây là một số ví dụ (Hình 1.3a, b, c):

The image contains three separate coordinate plane graphs labeled a), b), and c). Graph a) shows a line 'd' with equation x + 2y = 2, passing through points A(0,1) and B(2,0), drawn as a red diagonal line with negative slope. Graph b) shows a horizontal red line at y = -1, with point A marked on the line at approximately (0,-1), extending across the coordinate plane from x=-3 to x=3. Graph c) shows a vertical red line at x = 2, with point B marked on the line at approximately (2,0), extending vertically across the coordinate plane.

2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng hình học

Ta đã biết, mỗi nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

$\left\{\begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array}\right.$ (*)

là một nghiệm chung của hai phương trình trong hệ (). Nghiệm chung ấy tương ứng với điểm chung của hai đường thẳng $\Delta : ax + by = c$ và $\Delta' : a'x + b'y = c'$, tức là giao điểm của $\Delta$ và $\Delta'$. Do đó ta có thể giải hệ () bằng cách vẽ hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ rồi tìm tọa độ điểm chung của chúng. Từ đó, ta thấy chỉ có thể xảy ra 3 trường hợp:

1. $\Delta$ và $\Delta'$ cắt nhau (có một điểm chung): Hệ (*) có một nghiệm duy nhất.

2. $\Delta$ và $\Delta'$ song song với nhau (không có điểm chung): Hệ (*) vô nghiệm.

3. $\Delta$ và $\Delta'$ trùng nhau (mỗi điểm của $\Delta$ đều là điểm chung): Hệ (*) có vô số nghiệm.

17

Ví dụ 1

Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x - y = 3\\x + 2y = 4\end{array}\right.$, ta làm như sau (H.1.4):

– Vẽ đường thẳng $2x - y = 3$ qua hai điểm $A(0; -3)$ và $B(1; -1)$.

– Vẽ đường thẳng $x + 2y = 4$ qua hai điểm $C(0; 2)$ và $D(4; 0)$.

Hai đường thẳng cắt nhau tại $M(2; 1)$ nên $(2; 1)$ là nghiệm duy nhất của hệ đã cho.

A 2D Cartesian coordinate graph showing two linear equations plotted as straight lines. The x-axis ranges from -1 to 6 and the y-axis ranges from -3 to 3+. The first line (red) represents the equation x + 2y = 4, passing through points C(0, 2) and D(4, 0). The second line (blue) represents the equation 2x - y = 3, passing through points A(0, -3), B(2, -1), and extending upward. The two lines intersect at point M(2, 1), which is marked with dashed lines to both axes. Key labeled points are: A at approximately (0, -3), B at approximately (2, -1), C at approximately (0, 2), D at approximately (4, 0), M at approximately (2, 1). The origin O is labeled.

Ví dụ 2 Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+y=2\\-2x+2y=8\end{array}\right.$. Ta thấy đường thẳng $d_1: -x+y=2$ là đồ thị của hàm số $y=x+2$; đường thẳng $d_2: -2x+2y=8$ là đồ thị của hàm số $y=x+4$ (H.1.5). Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ phân biệt và có cùng hệ số góc là 1 nên chúng song song với nhau. Do đó, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

A coordinate plane showing two parallel linear functions d1 and d2. Both lines have the same positive slope. Line d1 passes through the point (0, 2) on the y-axis and through approximately (1, 2) area, appearing to cross the x-axis near x = -2. Line d2 is positioned to the left of d1, passing through the y-axis at approximately y = 4 and crossing the x-axis near x = -4. The two lines are parallel (never intersect), indicating the system of equations has no solution. The x-axis ranges from -5 to 2 and the y-axis ranges from approximately -2 to 4+.

Ví dụ 3

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+y=2\\-2x+2y=4\end{array}\right.$. Ta thấy hai đường thẳng $-x+y=2$ và $-2x+2y=4$ cùng là đồ thị của hàm số $y=x+2$ nên chúng trùng nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Number

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ 1

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}0,5x + 0,6y = 0,4\\0,4x - 0,9y = 1,7.\end{array}\right.$

Giải

Nhân hai vế của mỗi phương trình với 10, ta được:

$\left\{\begin{array}{l} 5x + 6y = 4 \\ 4x - 9y = 17. \end{array}\right. \quad (1)$

Ta giải hệ (1). Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được hệ:

$$\begin{cases} 15x + 18y = 12 \\ 8x - 18y = 34. \end{cases} \quad (2)$$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ (2) ta được $23x = 46$, suy ra $x = 2$. Thế $x = 2$ vào phương trình thứ nhất của hệ (1), ta được $5 \cdot 2 + 6y = 4$ hay $6y = -6$, suy ra $y = -1$. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(2; -1)$.

Ví dụ 2

Tìm các hệ số $x$, $y$ trong phản ứng hoá học đã được cân bằng sau: $3\mathrm{Fe} + x\mathrm{O}_2 \rightarrow y\mathrm{Fe}_3\mathrm{O}_4$.

Giải

Vì số nguyên tử của Fe và O ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình $\begin{cases} 3 = 3y \\ 2x = 4y \end{cases}$ hay $\begin{cases} y = 1 \\ x = 2y. \end{cases}$ Giải hệ này ta được $x = 2$, $y = 1$.

Ví dụ 3

Tìm hai số $a$ và $b$ để đường thẳng $y = ax + b$ đi qua hai điểm $A(-2; -1)$ và $B(2; 3)$.

Đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $A(-2; -1)$ nên $a(-2) + b = -1$ hay $-2a + b = -1$. Tương tự, đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $B(2; 3)$ nên $a \cdot 2 + b = 3$ hay $2a + b = 3$.

19

Từ đó, ta có hệ phương trình với hai ẩn là $a$ và $b$:

$\left\{\begin{array}{l}-2a + b = -1\\2a + b = 3.\end{array}\right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được $2b = 2$, suy ra $b = 1$. Thay $b = 1$ vào phương trình thứ nhất, ta có $-2a + 1 = -1$, suy ra $a = 1$. Vậy với $a = 1$, $b = 1$ thì đường thẳng $y = ax + b$ đi qua hai điểm $A, B$ đã cho.

BÀI TẬP

1.10. Cho hai phương trình:

-2x + 5y = 7;	(1)
4x - 3y = 7.	(2)

Trong các cặp số (2; 0), (1; −1), (−1; 1), (−1; 6), (4; 3) và (−2; −5), cặp số nào là: a) Nghiệm của phương trình (1)? b) Nghiệm của phương trình (2)? c) Nghiệm của hệ gồm phương trình (1) và phương trình (2)?

1.11. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x - y = 1\\x - 2y = -1;\end{array}\right.$ b) $\left\{\begin{array}{l}0,5x - 0,5y = 0,5\\1,2x - 1,2y = 1,2;\end{array}\right.$ c) $\left\{\begin{array}{l}x + 3y = -2\\5x - 4y = 28.\end{array}\right.$

1.12. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\left\{\begin{array}{l}5x + 7y = -1\\3x + 2y = -5;\end{array}\right.$ b) $\left\{\begin{array}{l}2x - 3y = 11\\-0,8x + 1,2y = 1;\end{array}\right.$ c) $\left\{\begin{array}{l}4x - 3y = 6\\0,4x + 0,2y = 0,8.\end{array}\right.$

1.13. Tìm các hệ số x, y trong phản ứng hoá học đã được cân bằng sau:

$4\mathrm{Al} + x\mathrm{O}_2 \rightarrow y\mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3$.

1.14. Tìm $a$ và $b$ sao cho hệ phương trình $\begin{cases} ax + by = 1 \\ ax + (2 - b)y = 3 \end{cases}$ có nghiệm là $(1; -2)$.

Number