Bài 26 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ LIÊN QUAN TỚI PHÉP THỬ

Khái niệm, thuật ngữ

Biến cố
Kết quả thuận lợi

Kiến thức, kĩ năng

Biết tính xác suất của biến cố liên quan đến phép thử gồm một hoặc hai hành động, thực nghiệm đơn giản tiến hành liên tiếp hay đồng thời.

Theo quy luật di truyền của Mendel, cây đậu Hà Lan có hai kiểu hình về màu hạt (vàng, xanh) tương ứng với hai alen $A$ và $a$ ; có hai kiểu hình về hình dạng hạt (trơn, nhăn) tương ứng với hai alen $B$ và $b$ . Khi lai hai cây đậu Hà Lan có kiểu hình hạt vàng, trơn với nhau thì xác suất để thu được cây con có cùng kiểu hình với bố mẹ (hạt vàng và trơn) là bao nhiêu?

Hình: Một túi hạt đậu Hà Lan gồm nhiều hạt có màu vàng và xanh, một số hạt trơn và một số hạt nhăn.

1 KẾT QUẢ THUẬN LỢI CHO MỘT BIẾN CỐ LIÊN QUAN TỚI PHÉP THỬ

Kết quả thuận lợi cho một biến cố

HĐ Tung một con xúc xắc hai lần. Gọi $E$ là biến cố “cả hai lần tung đều có kết quả là số nguyên tố”, $F$ là biến cố “cả hai lần tung đều không có kết quả là số chẵn”.

a) Phép thử là gì?

b) Biết kết quả của lần tung thứ nhất là 2, lần tung thứ hai là 5. Hỏi biến cố nào đã xảy ra?

Cho phép thử $T$ . Xét biến cố $E$ , ở đó việc xảy ra hay không xảy ra của $E$ tuỳ thuộc vào kết quả của phép thử $T$ . Kết quả của phép thử $T$ làm cho biến cố $E$ xảy ra gọi là kết quả thuận lợi cho $E$ .

Ví dụ 1 Một đĩa quay hình tròn được chia làm 4 phần bằng nhau và được đánh số lần lượt 1, 2, 3, 4 như Hình 8.2. Tuấn quay đĩa quay 2 lần.

a) Phép thử là gì? Hãy mô tả không gian mẫu của phép thử đó.

Hình: Hình 8.2 Sơ đồ một đĩa quay hình tròn chia làm 4 phần bằng nhau được đánh số từ 1 đến 4 với các màu sắc khác nhau và một mũi tên ở giữa.

Hình 8.2

b) Xét biến cố $E$ : “Tổng hai số ghi trên hai hình quạt ở hai lần quay bằng 5”. Mô tả các kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ .

c) Xét biến cố $F$ : “Tích hai số ghi trên hai hình quạt ở hai lần quay bằng 4”. Mô tả các kết quả thuận lợi cho biến cố $F$ .

Giải

a) Phép thử là quay tấm bìa hai lần. Kết quả của phép thử là một cặp số $(a, b)$ , trong đó $a$ và $b$ tương ứng là số ghi trên các hình quạt mà mũi tên chỉ vào ở lần quay thứ nhất và thứ hai.

Ta liệt kê được tất cả các kết quả có thể của phép thử bằng cách lập bảng như sau:

Lần 1 \ Lần 2	1	2	3	4
1	(1, 1)	(1, 2)	(1, 3)	(1, 4)
2	(2, 1)	(2, 2)	(2, 3)	(2, 4)
3	(3, 1)	(3, 2)	(3, 3)	(3, 4)
4	(4, 1)	(4, 2)	(4, 3)	(4, 4)

Mỗi ô trong bảng là một kết quả có thể. Không gian mẫu là tập hợp 16 ô của bảng trên. Như vậy, không gian mẫu của phép thử là

$\Omega = \{(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4)\}.$

b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là $(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1).$

c) Các kết quả thuận lợi cho biến cố $F$ là $(1, 4); (2, 2); (4, 1).$

Luyện tập 1

Bạn Hoàng lấy ngẫu nhiên một quả cầu từ một túi đựng 2 quả cầu gồm một quả màu đen và một quả màu trắng, có cùng khối lượng và kích thước. Bạn Hải rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ một hộp đựng 3 tấm thẻ A, B, C.

a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

b) Xét các biến cố sau:

$E$ : “Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu đen”;

$F$ : “Bạn Hoàng lấy được quả cầu màu trắng và bạn Hải không rút được tấm thẻ A”.

Hãy mô tả các kết quả thuận lợi cho hai biến cố $E$ và $F$ .

2 TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ LIÊN QUAN ĐẾN PHÉP THỬ KHI CÁC KẾT QUẢ CỦA PHÉP THỬ ĐỒNG KHẢ NĂNG

Giả sử rằng các kết quả có thể của phép thử $T$ là đồng khả năng. Khi đó xác suất $P(E)$ của biến cố $E$ bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ và số phần tử của tập $\Omega$ :

$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)},$

trong đó $\Omega$ là không gian mẫu của $T$ ; $n(E)$ là số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ và $n(\Omega)$ là số phần tử của tập $\Omega$ .

Cách tính xác suất của một biến cố

Hình: Một biểu tượng nhỏ gồm cuốn sách và kính lúp.

Việc tính xác suất của một biến cố $E$ gồm các bước sau:

Bước 1. Mô tả không gian mẫu của phép thử. Từ đó xác định số phần tử của không gian mẫu $\Omega$ .

Bước 2. Chứng tỏ các kết quả có thể của phép thử là đồng khả năng.

Bước 3. Mô tả các kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ . Từ đó xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ .

Bước 4. Lập tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ với số phần tử của không gian mẫu $\Omega$ .

Ví dụ 2

Ba bạn Bảo, Châu, Dương được xếp ngẫu nhiên ngồi trên một hàng ghế có ba chỗ ngồi. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) $E$ : “Bảo không ngồi ngoài cùng bên phải”;

b) $F$ : “Châu và Dương không ngồi cạnh nhau”.

Giải

Kí hiệu ba bạn Bảo, Châu, Dương lần lượt là B, C, D.

Ta liệt kê các kết quả có thể xảy ra:

Bảo ngồi ngoài cùng bên trái: có 2 cách xếp là BCD và BDC.
Bảo ngồi giữa: có 2 cách xếp là CBD và DBC.
Bảo ngồi ngoài cùng bên phải: có 2 cách xếp là CDB và DCB.

Vậy không gian mẫu của phép thử là $\Omega = \{BCD;\ BDC;\ CBD;\ DBC;\ CDB;\ DCB\}$ .

Tập $\Omega$ có 6 phần tử.

Vì việc xếp chỗ ngồi là ngẫu nhiên nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

a) Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là BCD, BDC, CBD và DBC. Vậy $P(E) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ .

b) Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố $F$ là CBD và DBC. Vậy $P(F) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ .

Luyện tập 2

Cho hai túi I và II, mỗi túi chứa 3 tấm thẻ được ghi các số 2; 3; 7. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và ghép thành số có hai chữ số với chữ số trên tấm thẻ rút từ túi I là chữ số hàng chục. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) $A$ : “Số tạo thành chia hết cho 4”;

b) $B$ : “Số tạo thành là số nguyên tố”.

Ví dụ 3

Để trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu ta cần biết kiểu gene của cây bố và cây mẹ. Giả sử cây bố có kiểu gene là $(AA,\ Bb)$ , cây mẹ có kiểu gene là $(Aa,\ Bb)$ . Khi đó yêu cầu bài toán trở thành tính xác suất để cây con có hạt vàng và trơn.

Giải

Ở Bài 25, ta đã biết không gian mẫu là:

$\Omega = \{(AA, BB); (AA, Bb); (AA, bB); (AA, bb); (Aa, BB); (Aa, Bb); (Aa, bB); (Aa, bb)\}.$

Tập $\Omega$ có 8 phần tử. Phép thử có 8 kết quả có thể. Do cây con chọn ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ nên các kết quả có thể trên là đồng khả năng.

Gọi $M$ là biến cố “Cây con có hạt vàng và trơn”.

Cây con có hạt vàng và trơn nếu trong gene màu hạt có ít nhất một allele trội A và trong gene dạng hạt có ít nhất một allele trội B.

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố $M$ là (AA, BB); (AA, Bb); (AA, bB); (Aa, BB); (Aa, Bb); (Aa, bB).

Vậy $P(M) = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ .

Luyện tập 3

Trở lại Ví dụ 3, tính xác suất để cây con có hạt vàng và nhăn.

BÀI TẬP

8.5. Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai con. Giả thiết rằng biến cố “Sinh con trai” và biến cố “Sinh con gái” là đồng khả năng. Tính xác suất của các biến cố sau:

$a)$ “Gia đình đó có cả con trai và con gái”;

$b)$ “Gia đình đó có con trai”.

8.6. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất I và II. Tính xác suất các biến cố sau:

$a)$ “Có đúng một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”;

$b)$ “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”;

$c)$ “Tích của hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 6”.

8.7. Bạn An gieo một đồng xu cân đối và bạn Bình rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp chứa 5 tấm thẻ ghi các số 1; 2; 3; 4; 5. Tính xác suất của các biến cố sau:

$a)$ “Rút được tấm thẻ ghi số lẻ”;

$b)$ “Rút được tấm thẻ ghi số chẵn và đồng xu xuất hiện mặt sấp”;

$c)$ “Rút được tấm thẻ ghi số 5 hoặc đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.

8.8. Có hai túi I và II mỗi túi chứa 4 tấm thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và nhân hai số ghi trên hai tấm thẻ với nhau. Tính xác suất của các biến cố sau:

$a)$ “Kết quả là một số lẻ”;

$b)$ “Kết quả là 1 hoặc một số nguyên tố”.

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ

Tấm bìa cứng A hình tròn được chia thành 3 hình quạt có diện tích bằng nhau, đánh số 1; 2; 3 và tấm bìa cứng B hình tròn được chia thành 5 hình quạt có diện tích bằng nhau, đánh số 1; 2; 3; 4; 5 (H.8.3). Trục quay của A và B được gắn mũi tên ở tâm. Bạn Nam quay tấm bìa A, bạn Bình quay tấm bìa B. Quan sát xem mũi tên dừng ở hình quạt nào trên hai tấm bìa.

Hình: Hai tấm bìa tròn A (chia 3 hình quạt số 1, 2, 3) và B (chia 5 hình quạt số 1, 2, 3, 4, 5), mỗi tấm có trục quay với mũi tên ở tâm (Hình 8.3).

a) Phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

c) Tính xác suất của các biến cố sau:

$E$ : “Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào bằng 6”;

$F$ : “Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào nhỏ hơn 5”;

$G$ : “Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào là số chẵn”.

Giải

a) Phép thử là bạn Nam quay tấm bìa A, bạn Bình quay tấm bìa B.

b) Ta lập bảng sau:

	1	2	3
1	(1; 1)	(1; 2)	(1; 3)
2	(2; 1)	(2; 2)	(2; 3)
3	(3; 1)	(3; 2)	(3; 3)
4	(4; 1)	(4; 2)	(4; 3)
5	(5; 1)	(5; 2)	(5; 3)

Trong bảng trên, hàng ghi kết quả tấm bìa B, cột ghi kết quả tấm bìa A (ô góc: Tấm bìa A / Tấm bìa B).

Mỗi ô trong bảng trên là một kết quả có thể. Các kết quả có thể này là đồng khả năng.

Không gian mẫu là $\Omega = \{(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (4; 1); (4; 2); (4; 3); (5; 1); (5; 2); (5; 3)\}$ .

Không gian mẫu có 15 phần tử.

Lưu ý khi chép từ ảnh: Ô góc bảng thường ghi Tấm bìa A (phía trên) và Tấm bìa B (phía dưới) — nếu renderer của bạn hỗ trợ, có thể thay <th></th> đầu bảng bằng nội dung đó; cặp trong ô sách thường dùng dấu ; như trên. Phần c) (xác suất $E$ , $F$ , $G$ ) thường nằm trang sau nếu ảnh chỉ đến hết mục b). Nếu bạn gửi thêm ảnh tiếp theo, có thể ghép nối cùng một file Markdown.

c) • Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là $(3, 2)$ và $(2, 3)$ . Vậy $P(E) = \frac{2}{15}$ .

• Các kết quả thuận lợi cho biến cố $F$ : Có một ô có tích hai số bằng 1 là $(1, 1)$ ; các ô có tích hai số bằng 2 là $(1, 2)$ ; $(2, 1)$ ; các ô có tích hai số bằng 3 là $(1, 3)$ ; $(3, 1)$ ; các ô có tích hai số bằng 4 là $(2, 2)$ ; $(4, 1)$ . Do đó, có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố $F$ là $(1, 1)$ ; $(1, 2)$ ; $(2, 1)$ ; $(1, 3)$ ; $(3, 1)$ ; $(2, 2)$ ; $(4, 1)$ . Vậy $P(F) = \frac{7}{15}$ .

• Tích $ab$ là số chẵn khi và chỉ khi trong cặp $(a, b)$ có ít nhất một số chẵn.

Do đó, có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố $G$ là $(1, 2)$ ; $(2, 1)$ ; $(2, 2)$ ; $(2, 3)$ ; $(3, 2)$ ; $(4, 1)$ ; $(4, 2)$ ; $(4, 3)$ ; $(5, 2)$ .

Vậy $P(G) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ .

BÀI TẬP

8.9. Có hai túi đựng các tấm thẻ. Túi I đựng 4 tấm thẻ ghi các chữ cái TT, TH, HT và HH. Túi II đựng 2 tấm thẻ ghi các chữ cái T và H. Từ mỗi túi rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ rồi ghép hai thẻ lại với nhau để được ba chữ cái, trong đó thẻ hai chữ cái đặt trước, chẳng hạn tấm thẻ TT ghép với tấm thẻ H được ba chữ cái TTH. Tính xác suất của các biến cố sau:

Hình: Hai hàng các tấm thẻ hình chữ nhật bo góc, hàng trên gồm bốn thẻ ghi chữ TT, TH, HT, HH và hàng dưới gồm hai thẻ ghi chữ T, H.

a) $E$ : "Trong ba chữ cái, có hai chữ H và một chữ T";

b) $F$ : "Trong ba chữ cái, có nhiều nhất hai chữ T".

8.10. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất I và II. Tính xác suất của các biến cố sau:

$G$ : "Không có con xúc xắc nào xuất hiện mặt 6 chấm";

$H$ : "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc I là số lẻ và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc II lớn hơn 4";

$K$ : "Số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc lớn hơn 2".

8.11. Trên một dãy phố có ba quán ăn A, B, C. Hai bạn Văn và Hải mỗi người chọn ngẫu nhiên một quán ăn để ăn trưa.

a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.

b) Tính xác suất của các biến cố sau:

$E$ : "Hai bạn cùng vào một quán";

$F$ : "Cả hai bạn không chọn quán C";

$G$ : "Có ít nhất một bạn chọn quán B".

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VIII

A. TRẮC NGHIỆM

8.12. Gieo hai xúc xắc cân bằng và giống nhau. Tính xác suất để tổng số chấm của hai xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10.

A. $\dfrac{7}{36}$

B. $\dfrac{2}{9}$

C. $\dfrac{1}{6}$

D. $\dfrac{5}{36}$

8.13. Có hai túi. Túi I có các thẻ ghi số 1, 2, 3, 4. Túi II có các thẻ ghi số 1, 2, 3, 4, 5. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ mỗi túi. Tính xác suất để cả hai thẻ đều ghi số chẵn.

A. $\dfrac{1}{5}$

B. $\dfrac{3}{20}$

C. $\dfrac{1}{4}$

D. $\dfrac{4}{21}$

8.14. Một túi có bốn viên bi ghi số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ túi đó. Tính xác suất để tích hai số ghi trên hai viên bi lấy được lớn hơn 3.

A. $\dfrac{5}{7}$

B. $\dfrac{2}{3}$

C. $\dfrac{3}{4}$

D. $\dfrac{5}{6}$

B. TỰ LUẬN

8.15. Có hai túi. Túi I có các thẻ ghi số 2, 3, 4. Túi II có các thẻ ghi số 5, 6. Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ mỗi túi. Tính xác suất của các biến cố:

A: “Hiệu hai số ghi trên hai thẻ bằng 2 đơn vị”;

B: “Hiệu hai số ghi trên hai thẻ lớn hơn 2 đơn vị”;

C: “Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn”;

D: “Tổng hai số ghi trên hai thẻ là một số nguyên tố”.

8.16. Gieo hai xúc xắc cân bằng I và II. Tính xác suất của các biến cố:

E: “Tổng số chấm là 11”;

F: “Tổng số chấm là 8 hoặc 9”;

G: “Tổng số chấm nhỏ hơn 6”.

8.17. Hai bạn Minh và Huy chơi trò chơi như sau: Minh chọn một số từ tập hợp $\{5; 6; 7; 8; 9; 10\}$ , Huy chọn một số từ tập hợp $\{4; 5; 7; 8; 9; 11\}$ . Bạn nào chọn số lớn hơn thì thắng cuộc, nếu hai số bằng nhau thì hòa. Tính xác suất của:

a) A: “Minh thắng cuộc”;

b) B: “Huy thắng cuộc”.