Bài 29 TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
Tứ giác nội tiếp Đường tròn ngoại tiếp tứ giác	Nhận biết tứ giác nội tiếp; biết định lí: trong tứ giác nội tiếp, hai góc đối bù nhau ($\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ$, $\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$). Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật, hình vuông. Giải một số bài toán thực tiễn.

Mọi tam giác đều có đường tròn ngoại tiếp. Vậy mọi tứ giác có đường tròn ngoại tiếp không?

1 ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP MỘT TỨ GIÁC

Đường tròn đi qua bốn đỉnh của một tứ giác

HĐ1 Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} = \widehat{C} = 90^\circ$ (Hình 9.28). Hãy giải thích vì sao bốn đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên một đường tròn có tâm $O$ là trung điểm của $BD$.

HĐ2 Trên đường tròn $(O)$, lấy bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tạo thành tứ giác lồi $ABCD$ (Hình 9.29). Các đường trung trực của các cạnh của tứ giác có đi qua một điểm không?

Hình: Hình 9.28 — đường tròn $(O)$, tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $BD$ là đường kính, $\widehat{A} = \widehat{C} = 90^\circ$.

Hình: Hình 9.29 — đường tròn $(O)$, tứ giác lồi $ABCD$ có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.

Các tứ giác như ở Hình 9.28 và Hình 9.29 được gọi là nội tiếp trong đường tròn $(O)$.

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác.

Ví dụ 1 Trong ba hình vẽ ở Hình 9.30, hình nào biểu diễn một tứ giác nội tiếp?

Hình: Hình 9.30 — ba hình a) tứ giác có đủ bốn đỉnh trên đường tròn; b) tứ giác có ba đỉnh trên đường tròn; c) tứ giác có hai đỉnh trên đường tròn.

80

Giải. Hình a và b không vẽ tứ giác nội tiếp đường tròn vì mỗi tứ giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn và đỉnh còn lại không nằm trên đường tròn. Hình c vẽ tứ giác nội tiếp đường tròn vì tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.

---

HĐ3

Em hãy đo các góc đối nhau $A$ và $C$ của tứ giác $ABCD$ trong HĐ2 và tính tổng $\hat{A} + \hat{C}$. So sánh kết quả của em với các bạn.

Tổng quát, chúng ta có định lí sau đây về tổng số đo các góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp.

Định lí

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180^\circ$.

GT	Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$.
KL	$\hat{A} + \hat{C} = 180^\circ$; $\hat{B} + \hat{D} = 180^\circ$.

Hình: Đường tròn tâm $O$, tứ giác $ABCD$ có bốn đỉnh nằm trên đường tròn (Hình 9.31).

Chứng minh

Vì $\hat{A}$ là góc nội tiếp chắn cung $\overparen{BCD}$ nên $\hat{A} = \dfrac{1}{2}\, sđ\,\overparen{BCD}$.

Vì $\hat{C}$ là góc nội tiếp chắn cung $\overparen{BAD}$ nên $\hat{C} = \dfrac{1}{2}\, sđ\,\overparen{BAD}$.

Do đó $\hat{A} + \hat{C} = \frac{1}{2}\, sđ\,\overparen{BCD} + \frac{1}{2}\, sđ\,\overparen{BAD} = \frac{1}{2}\left(sđ\,\overparen{BCD} + sđ\,\overparen{BAD}\right) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ.$

Tương tự, $\hat{B} + \hat{D} = 180^\circ$.

---

Ví dụ 2

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường thẳng $AB$ và $DC$ cắt nhau tại $X$. Cho biết $\widehat{DAB} = 70^\circ$, $\widehat{ABC} = 130^\circ$. Tính $\widehat{BCD}$ và $\widehat{BXC}$.

Hình: Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, các đường thẳng $AB$ và $DC$ cắt nhau tại $X$ (Hình 9.32).

Giải

Vì $ABCD$ nội tiếp đường tròn nên $\widehat{BCD} = 180^\circ - \widehat{DAB} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Ta có $\widehat{CDA} = 180^\circ - \widehat{ABC} = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Trong tam giác $AXD$ có $\widehat{DAX} = \widehat{DAB} = 70^\circ$, $\widehat{ADX} = \widehat{CDA} = 50^\circ$.

Suy ra $\widehat{AXD} = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ$.

Vì $\widehat{BXC}$ và $\widehat{AXD}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{BXC} = 60^\circ$.

---

Luyện tập 1

Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $BE$, $CF$. Biết $\hat{B} = 60^\circ$, $\hat{C} = 80^\circ$.

a) Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm cạnh $BC$.

b) Tính số đo các góc $\widehat{BFE}$ và $\widehat{CEF}$.

81

Thử thách nhỏ 1

Cho tứ giác $ABCD$, biết rằng các đường trung trực của ba đoạn thẳng $AB$, $AC$, $AD$ đồng quy tại một điểm. Hãy giải thích vì sao $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

2 ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP HÌNH CHỮ NHẬT VÀ HÌNH VUÔNG

Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật và hình vuông

HĐ4 Vẽ hình chữ nhật $ABCD$ và giao điểm $M$ của hai đường chéo $AC$ và $BD$ (H.9.33).

a) Hãy giải thích vì sao điểm $M$ cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$.

b) Chứng tỏ rằng hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp một đường tròn có bán kính bằng nửa đường chéo hình chữ nhật.

Hình: Hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn; hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $M$ ở tâm (H.9.33).

HĐ5 Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $3 \text{ cm}$ như Hình 9.34. Hãy xác định tâm, vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông $ABCD$ và cho biết bán kính của đường tròn đó.

Hình: Hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn, cạnh $BC$ ghi $3 \text{ cm}$, tâm $O$ (H.9.34).

Từ hai hoạt động trên, ta có khẳng định sau:

Hình chữ nhật và hình vuông là các tứ giác nội tiếp. Đường tròn ngoại tiếp của chúng có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính bằng một nửa độ dài đường chéo.

Với điểm $A$ cho trước nằm trên đường tròn $(O)$, có bao nhiêu hình vuông có một đỉnh là $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$?

Ví dụ 3 Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3 \text{ cm}$, $AD = 4 \text{ cm}$. Vẽ đường tròn $(O; R)$ ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ và tính bán kính $R$.

Giải

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính $R = OA$. Đường tròn $(O; R)$ vừa vẽ ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ (H.9.35).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABD$ vuông tại $A$, ta có:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$

nên $BD = 5 \text{ (cm)}$.

Do đó, ta có $R = \dfrac{BD}{2} = 2{,}5 \text{ cm}$.

Hình: Hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $AB = 3 \text{ cm}$, $AD = 4 \text{ cm}$ (H.9.35).

82

Luyện tập 2

Cho hình thoi $ABCD$ có các cạnh bằng 3 cm. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD, DA$. Chứng tỏ rằng tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật và tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.

Thử thách nhỏ 2

Nếu các hình chữ nhật có chung một đường chéo (ví dụ như hai hình chữ nhật $ABCD$ và $AECF$ trong Hình 9.36) thì các đỉnh của chúng có cùng nằm trên một đường tròn không?

Hình: Hai hình chữ nhật $ABCD$ và $AECF$ có chung đường chéo $AC$ nội tiếp trong một đường tròn.

BÀI TẬP

9.18 Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp. Tính số đo của các góc còn lại của tứ giác trong mỗi trường hợp sau:

a) $\hat{A} = 60^\circ$, $\hat{B} = 80^\circ$;

b) $\hat{B} = 70^\circ$, $\hat{C} = 90^\circ$;

c) $\hat{C} = 100^\circ$, $\hat{D} = 60^\circ$;

d) $\hat{D} = 110^\circ$, $\hat{A} = 80^\circ$.

9.19 Cho điểm $I$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Qua $I$ kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt $(O)$ tại bốn điểm $A, B$ và $C, D$ sao cho $A$ nằm giữa $B$ và $I$, $C$ nằm giữa $D$ và $I$. Chứng minh rằng $\widehat{IBD} = \widehat{ICA}$, $\widehat{IAC} = \widehat{IDB}$ và $IA \cdot IB = IC \cdot ID$.

9.20 Cho hình bình hành $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $ABCD$ là hình chữ nhật.

9.21 Cho hình thang $ABCD$ ($AB$ song song với $CD$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $ABCD$ là hình thang cân.

9.22 Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2,5 cm.

9.23 Người ta muốn dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng 4 m và cao 3 m, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn như Hình 9.37. Tính chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó.

Hình: Một khung cổng hình chữ nhật kích thước 4 m × 3 m nằm bên trong một khung thép hình bán nguyệt.

83