Bài 18 HÀM SỐ $y = ax^2$ ($a \neq 0$)

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
Hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) Đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) Đỉnh Trục đối xứng	Thiết lập bảng giá trị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$). Vẽ đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$). Nhận biết tính đối xứng trục và trục đối xứng của đồ thị hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$). Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$).

Một cây cầu treo có trụ tháp đôi cao 75 m so với mặt của cây cầu và cách nhau 400 m. Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) như Hình 6.1 và được treo trên các đỉnh tháp. Tìm chiều cao $CH$ của dây cáp biết điểm $H$ cách tâm $O$ của cây cầu 100 m (giả sử mặt của cây cầu là bằng phẳng).

Hình: Hình 6.1 — hệ trục tọa độ với gốc $O$ trên mặt cầu, trục $Oy$ thẳng đứng, trục $Ox$ nằm ngang; hai trụ tháp tại $x = -200$ và $x = 200$ cao 75 m (điểm $A(-200;\,75)$ và $B(200;\,75)$); dây cáp là parabol đi qua $A$, $O$ và $B$; điểm $C$ trên dây cáp, $H$ chân vuông góc trên $Ox$ với $OH = 100$; khoảng cách giữa hai trụ tháp ghi 400 (mỗi bên 200 so với $O$).

4

1 HÀM SỐ $y = ax^2$ ($a \ne 0$)

Nhận biết hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$)

HĐ1. Khi thả một vật rơi tự do và bỏ qua sức cản của không khí, quãng đường chuyển động $s$ (mét) của vật được cho bằng công thức $s = 4{,}9t^2$, trong đó $t$ (giây) là thời gian chuyển động của vật.

a) Hoàn thành bảng sau vào vở:

$t$	0	1	2
$s$	?	?	?

b) Giả sử một vật rơi tự do từ độ cao 19,6 m so với mặt đất. Hỏi sau bao lâu vật chạm đất?

HĐ2.

a) Viết công thức tính diện tích $S$ của hình tròn bán kính $r$.

b) Hoàn thành bảng sau vào vở (lấy $\pi = 3{,}14$ và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

$r$	1	2	3	4
$S$	?	?	?	?

Những công thức tính $s$ theo $t$ (trong HĐ1), tính $S$ theo $r$ (trong HĐ2) biểu thị những hàm số có cùng một dạng, gọi là hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$).

Nhận xét. Hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$) xác định với mọi giá trị $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

Ví dụ 1. Cho hàm số $y = \dfrac{3}{2}x^2$. Hoàn thành bảng giá trị sau vào vở:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3
$y$	?	?	?	?	?	?	?

Giải

Bảng giá trị:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3
$y$	$\dfrac{27}{2}$	6	$\dfrac{3}{2}$	0	$\dfrac{3}{2}$	6	$\dfrac{27}{2}$

Luyện tập 1. Cho hàm số $y = -\dfrac{3}{2}x^2$. Hoàn thành bảng giá trị sau vào vở:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3
$y$	?	?	?	?	?	?	?

Vận dụng 1. Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh $a$ (cm) và chiều cao 15 cm.

a) Viết công thức tính thể tích $V$ của hình chóp theo $a$ và tính giá trị của $V$ khi $a = 5$ cm.

b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích của hình chóp thay đổi thế nào?

5

2 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ $y = ax^2$ $(a \neq 0)$

Cách vẽ đồ thị hàm số $y = ax^2$ $(a \neq 0)$

HĐ3. Lập bảng giá trị của hàm số $y = 2x^2$:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	?	?	?	?	?	?	?

Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ và nối chúng lại để được đồ thị.

Ghi nhớ. Để vẽ đồ thị hàm số $y = ax^2$ $(a \neq 0)$, ta thực hiện theo hai bước:

1. Lập bảng giá trị;
2. Biểu diễn các cặp giá trị tương ứng thành các điểm trên mặt phẳng tọa độ và nối các điểm này lại với nhau ta được đồ thị của hàm số đã cho.

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị hàm số $y = -\dfrac{1}{4}x^2$.

Lời giải

Lập bảng giá trị:

$x$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$4$
$y$	$-4$	$-1$	$-\dfrac{1}{4}$	$0$	$-\dfrac{1}{4}$	$-1$	$-4$

Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ và nối chúng lại ta được đồ thị hàm số $y = -\dfrac{1}{4}x^2$ (Hình 6.2).

Hình: Đồ thị hàm số $y = -\dfrac{1}{4}x^2$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Nhận biết tính đối xứng của đồ thị hàm số $y = ax^2$ $(a \neq 0)$

HĐ4. Sử dụng đồ thị hàm số $y = 2x^2$ ở Hình 6.3.

a) Đồ thị nằm phía trên hay phía dưới trục hoành? Điểm nào trên đồ thị có tung độ nhỏ nhất?

b) So sánh tọa độ của các cặp điểm đối xứng qua trục tung: $A(1; 2)$ và $A'(-1; 2)$; $B(2; 8)$ và $B'(-2; 8)$.

Hình: Đồ thị hàm số $y = 2x^2$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với các điểm $A$, $A'$, $B$, $B'$.

6

c) Tìm điểm $C$ có hoành độ $x = \frac{1}{2}$ thuộc đồ thị. Xác định toạ độ của điểm $C'$ đối xứng với điểm $C$ qua trục tung $Oy$ và cho biết điểm $C'$ có thuộc đồ thị đã cho hay không.

Đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) là một đường cong, gọi là đường parabol, có các tính chất sau:

• Có đỉnh là gốc toạ độ $O$;
• Có trục đối xứng là $Oy$;
• Nằm phía trên trục hoành nếu $a > 0$ và nằm phía dưới trục hoành nếu $a < 0$.

Hai điểm $(x; y)$ và $(-x; y)$ đối xứng nhau qua trục tung $Oy$.

Hình: Hai đồ thị hàm số parabol $y = ax^2$ minh họa cho trường hợp $a > 0$ mở lên trên và $a < 0$ mở xuống dưới.

Hình 6.4. Đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$)

Ví dụ 3

a) Vẽ đồ thị của hàm số $y = -2x^2$. b) Tìm toạ độ các điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng $-\frac{1}{2}$ và nhận xét về tính đối xứng giữa các điểm đó.

Giải

a) Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa $x$ và $y$:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y = -2x^2$	$-8$	$-2$	$0$	$-2$	$-8$

Biểu diễn các điểm $(-2; -8), (-1; -2), (0; 0), (1; -2)$ và $(2; -8)$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ và nối chúng lại ta được đồ thị của hàm số $y = -2x^2$ như Hình 6.5.

Hình: Đồ thị hàm số $y = -2x^2$ là một đường parabol đi qua các điểm đã xác định trong bảng giá trị.

Hình 6.5

b) Ta có: $y = -\frac{1}{2}$ nên $-2x^2 = -\frac{1}{2}$, hay $x^2 = \frac{1}{4}$. Suy ra $x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = -\frac{1}{2}$.

Vậy có hai điểm cần tìm là $\left(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}\right)$. Hai điểm này đối xứng với nhau qua trục tung $Oy$.

Nhận xét.

• Khi vẽ đồ thị hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$), ta cần xác định tối thiểu 5 điểm thuộc đồ thị là gốc toạ độ $O$ và hai cặp điểm đối xứng với nhau qua trục tung $Oy$.
• Do đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) nhận trục tung $Oy$ là trục đối xứng nên ta có thể lập bảng giá trị của hàm số này với những giá trị $x$ không âm và vẽ phần đồ thị tương ứng ở bên phải trục tung, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.

7

Luyện tập 2

Vẽ đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$, tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng 2 và nhận xét về tính đối xứng của chúng.

Vận dụng 2

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

BÀI TẬP

6.1 Cho hàm số $y = 0{,}25x^2$. Hoàn thành bảng giá trị sau vào vở:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	?	?	?	?	?	?	?

6.2 Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh $a$ (cm) và chiều cao 10 cm.

a) Viết công thức tính thể tích $V$ theo $a$ và tính $V$ khi $a = 2$ cm.

b) Thể tích thay đổi như thế nào nếu cạnh đáy tăng gấp đôi?

6.3 Diện tích toàn phần $S$ (cm$^2$) của hình lập phương, tức là tổng diện tích xung quanh và diện tích của hai mặt đáy là một hàm số của độ dài cạnh $a$ (cm).

a) Viết công thức hàm số.

b) Dùng công thức tìm độ dài cạnh của hình lập phương có diện tích toàn phần 54 cm$^2$.

6.4 Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = 3x^2$;

b) $y = -\dfrac{1}{3}x^2$.

6.5 Biết rằng đường cong trong Hình 6.6 là một parabol $y = ax^2$.

a) Tìm hệ số $a$.

b) Tìm tung độ của điểm trên parabol có hoành độ $x = -2$.

c) Tìm các điểm trên parabol có tung độ $y = 8$.

Hình: Hình 6.6 — parabol màu xanh mở lên trên hệ trục $Oxy$, trục $Ox$ từ $-4$ đến $4$, trục $Oy$ từ $1$ đến $8$; các điểm trên parabol được đánh dấu $(-2;\,4)$, $(-1;\,1)$, $(1;\,1)$, $(2;\,4)$; có đường chấm nối điểm $(1;\,1)$ xuống các trục.

8

6.6. Trong Hình 6.7 có hai đường cong là đồ thị của hai hàm số $y = -3x^2$ và $y = x^2$. Hãy cho biết đường nào là đồ thị của hàm số $y = -3x^2$.

Hình: Hình 6.7 — hệ trục $Ox$, $Oy$ với hai parabol cùng đỉnh tại gốc $O$; parabol màu cam mở lên qua các điểm như $(1;\,1)$, $(2;\,4)$; parabol màu xanh lá mở xuống qua các điểm như $(1;\,-3)$, $(-1;\,-3)$.

6.7. Một cổng vòm được thiết kế dạng parabol $y = ax^2$ như Hình 6.8. Biết chiều rộng của chân cổng là $AB = 6\,\text{m}$ và chiều cao của cổng là $OI = 4{,}5\,\text{m}$.

Hình: Hình 6.8 — parabol $y = ax^2$ có đỉnh $O$ trên trục hoành; mặt đất là đường ngang (nét đứt) qua $A$, $I$, $B$, $H$; $OI = 4{,}5\,\text{m}$, $AB = 6\,\text{m}$, $IH = 2\,\text{m}$; $K$ nằm trên parabol sao cho $HK$ vuông góc với mặt đất.

a) Tìm hệ số $a$ dựa vào các dữ kiện trên. Từ đó, tính độ dài đoạn $HK$ biết $H$ cách điểm chính giữa cổng $I$ là $2\,\text{m}$.

b) Để vận chuyển hàng qua cổng, người ta dự định sử dụng một xe tải có chiều rộng $2\,\text{m}$, chiều cao $3\,\text{m}$. Hỏi xe tải này có thể đi qua được cổng vòm đó hay không?

9