Bài 19 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
Phương trình bậc hai một ẩn Công thức nghiệm Biệt thức	Nhận biết khái niệm phương trình bậc hai một ẩn. Giải phương trình bậc hai một ẩn. Tính nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn bằng máy tính cầm tay. Vận dụng phương trình bậc hai vào giải quyết bài toán thực tiễn.

Trên một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước 28 m × 16 m, người ta dự định làm một bể bơi có đường đi xung quanh (H.6.9). Hỏi bề rộng của đường đi là bao nhiêu để diện tích của bể bơi là 288 m²?

Hình: Sơ đồ mảnh đất hình chữ nhật kích thước 28 m × 16 m; bên trong là bể bơi hình chữ nhật; xung quanh bể bơi là lối đi rộng $x$ (m); có ghi chiều dài 28 m, chiều rộng 16 m và bề rộng lối đi $x$ (m) (H.6.9).

1. ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Nhận biết phương trình bậc hai một ẩn

Xét bài toán trong tình huống mở đầu.

HĐ1 Gọi $x$ (m) là bề rộng của mặt đường ($0 < x < 8$). Tính chiều dài và chiều rộng của bể bơi theo $x$.

HĐ2 Dựa vào kết quả HĐ1, tính diện tích của bể bơi theo $x$.

HĐ3 Sử dụng giả thiết và kết quả HĐ2, hãy viết phương trình để tìm $x$.

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, trong đó $x$ là ẩn; $a$, $b$, $c$ là những số cho trước gọi là hệ số và $a \neq 0$.

10

Ví dụ 1

Trong các phương trình sau, những phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn x? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc hai đó.

a) $2x^2 - 3x + 1 = 0;$

b) $x^2 - 3 = 0;$

c) $\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 + 3 \cdot \dfrac{1}{x} + 2 = 0;$

d) $-5x^2 = 0.$

Giải

a) Phương trình $2x^2 - 3x + 1 = 0$ là phương trình bậc hai với $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$.

b) Phương trình $x^2 - 3 = 0$ là phương trình bậc hai ẩn $x$ với $a = 1$, $b = 0$, $c = -3$.

c) Phương trình $\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 + 3 \cdot \dfrac{1}{x} + 2 = 0$ không phải là phương trình bậc hai.

d) Phương trình $-5x^2 = 0$ là phương trình bậc hai ẩn $x$ với $a = -5$, $b = 0$, $c = 0$.

Luyện tập 1

Trong các phương trình sau, những phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn x? Chỉ rõ các hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc hai đó.

a) $x^2 + 5 = 0;$

b) $2x^2 + 7x = 0;$

c) $\dfrac{x^2 - 2x + 5}{x} = 0;$

d) $0{,}5x^2 = 0.$

Tranh luận

Hình: Nhân vật hoạt hình cầm khung thoại chứa nội dung tranh luận về phương trình bậc hai.

Phương trình (ẩn x) $mx^2 + 2x + 1 = 0$ ($m$ là một số cho trước) là một phương trình bậc hai với $a = m$, $b = 2$, $c = 1$.

Ý kiến của em thế nào?

2 CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn dạng khuyết

Giải một phương trình bậc hai là tìm tất cả các nghiệm của nó. Dưới đây, thông qua một số ví dụ đơn giản, ta trình bày cách giải một số phương trình bậc hai dạng $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$), mà khuyết số hạng bậc nhất (tức là $b = 0$) hoặc khuyết số hạng tự do (tức là $c = 0$), bằng phương pháp đặt nhân tử chung đưa về dạng tích hoặc dùng hằng đẳng thức để đưa vế trái về một bình phương.

• Nếu $A \cdot B = 0$ thì $A = 0$ hoặc $B = 0$.
• Nếu $A^2 = B$ ($B \geq 0$) thì $A = \sqrt{B}$ hoặc $A = -\sqrt{B}$.

Ví dụ 2

Giải các phương trình sau:

a) $2x^2 - 4x = 0;$

b) $3x^2 + 8x = 0.$

11

Giải

a) $2x^2 - 4x = 0$

$2x(x - 2) = 0$

$x = 0$ hoặc $x = 2$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

b) $3x^2 + 8x = 0$

$x(3x + 8) = 0$

$x = 0$ hoặc $x = -\dfrac{8}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 0, x_2 = -\dfrac{8}{3}$.

Luyện tập 2

Giải các phương trình sau:

a) $2x^2 + 6x = 0$;

b) $5x^2 + 11x = 0$.

Ví dụ 3

Giải các phương trình sau:

a) $x^2 - 9 = 0$;

b) $(x + 1)^2 = 3$.

Giải

a) $x^2 - 9 = 0$

$x^2 = 9$

$x = 3$ hoặc $x = -3$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 3, x_2 = -3$.

b) $(x + 1)^2 = 3$

$x + 1 = \sqrt{3}$ hoặc $x + 1 = -\sqrt{3}$

$x = -1 + \sqrt{3}$ hoặc $x = -1 - \sqrt{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -1 + \sqrt{3}, x_2 = -1 - \sqrt{3}$.

Luyện tập 3

Giải các phương trình sau:

a) $x^2 - 25 = 0$;

b) $(x + 3)^2 = 5$.

Chú ý. Để giải phương trình bậc hai dạng $x^2 + bx = c$, ta có thể cộng thêm vào hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó có thể giải phương trình đã cho.

Ví dụ 4

Cho phương trình $x^2 - 4x = 1$.

a) Hãy cộng vào cả hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái có thể biến đổi thành một bình phương.

b) Dựa vào câu a và cách giải Ví dụ 3b, hãy giải phương trình đã cho.

Giải

a) $x^2 - 4x = 1$

$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$

$(x - 2)^2 = 5$.

b) Từ kết quả câu a, ta có:

$x - 2 = \sqrt{5}$ hoặc $x - 2 = -\sqrt{5}$, suy ra $x = 2 + \sqrt{5}$ hoặc $x = 2 - \sqrt{5}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 2 + \sqrt{5}, x_2 = 2 - \sqrt{5}$.

12

Luyện tập 4

Cho phương trình $x^2 + 6x = 1$.

Hãy cộng vào cả hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó, hãy giải phương trình đã cho.

3 CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

HĐ4 Xây dựng công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Thực hiện lần lượt các bước sau để giải phương trình: $2x^2 - 8x + 3 = 0$.

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.

b) Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của $x^2$.

c) Thêm vào hai vế của phương trình nhận được ở câu b với cùng một số để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó tìm nghiệm $x$.

Cách giải phương trình bậc hai

Tương tự HĐ4, để giải phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) trong trường hợp tổng quát, ta làm như sau:

Chuyển hạng tử tự do $c$ sang vế phải: $ax^2 + bx = -c$.

Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số $a$ của $x^2$: $x^2 + \dfrac{b}{a}x = -\dfrac{c}{a}$.

Cộng vào hai vế của phương trình nhận được với $\dfrac{b^2}{4a^2}$ để vế trái có thể biến đổi thành bình phương của một biểu thức:

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}$

hay

$\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}.$

Kí hiệu $\Delta = b^2 - 4ac$ và gọi là biệt thức của phương trình ($\Delta$ đọc là “delta”). Khi đó, ta có thể viết lại phương trình cuối dưới dạng

$\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}.$

Từ đây, ta có kết quả sau:

Xét phương trình bậc hai một ẩn $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$).

Tính biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}; \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

• Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$

• Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

13

Ví dụ 5

Cho phương trình $3x^2 + 7x - 1 = 0$.

a) Xác định các hệ số $a$, $b$, $c$.

b) Tính biệt thức $\Delta$.

c) Áp dụng công thức nghiệm, giải phương trình đã cho.

Giải

a) Ta có: $a = 3$, $b = 7$, $c = -1$.

b) Ta có: $\Delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 49 + 12 = 61$.

c) Do $\Delta > 0$, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \dfrac{-7 + \sqrt{61}}{6}$, $x_2 = \dfrac{-7 - \sqrt{61}}{6}$.

Ví dụ 6

Giải các phương trình sau:

a) $x^2 - 6x + 9 = 0$;

b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$.

Giải

a) Ta có: $\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0$. Do đó, phương trình có nghiệm kép: $x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2} = 3$.

b) Ta có: $\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0$. Do đó, phương trình vô nghiệm.

Luyện tập 5

Áp dụng công thức nghiệm, giải các phương trình sau:

a) $2x^2 - 5x + 1 = 0$;

b) $x^2 + 8x + 16 = 0$;

c) $x^2 - x + 1 = 0$.

Thử thách nhỏ

Hình: Nhân vật hoạt hình anh Pi (chữ Pi màu xanh lá có mắt, kính và tay chân) đang cầm một chiếc búa nhỏ, đứng cạnh một ô lời thoại màu vàng.

“Có thể nói gì về nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ nếu $a$ và $c$ trái dấu?”

Em hãy trả lời câu hỏi của anh Pi.

Chú ý

Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$), với $b = 2b'$ và $\Delta' = b'^2 - ac$.

• Nếu $\Delta' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \dfrac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}$; $x_2 = \dfrac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a}$.
• Nếu $\Delta' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\dfrac{b'}{a}$.
• Nếu $\Delta' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Các công thức ở trên gọi là công thức nghiệm thu gọn.

14

Ví dụ 7

Xác định $a, b', c$ rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau:

a) $2x^2 + 6x + 1 = 0;$

b) $x^2 - 4\sqrt{3}x + 12 = 0.$

Giải

a) Ta có: $a = 2, b' = 3, c = 1$ và $\Delta' = 3^2 - 2 \cdot 1 = 7 > 0$. Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{7}}{2}; x_2 = \frac{-3 - \sqrt{7}}{2}$

b) Ta có: $a = 1, b' = -2\sqrt{3}, c = 12$ và $\Delta' = (-2\sqrt{3})^2 - 1 \cdot 12 = 0$. Do đó, phương trình có nghiệm kép: $x_1 = x_2 = 2\sqrt{3}$.

Luyện tập 6

Xác định $a, b', c$ rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau:

a) $3x^2 + 8x - 3 = 0;$

b) $x^2 + 6\sqrt{2}x + 2 = 0.$

Vận dụng

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

4 TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể dễ dàng tìm nghiệm của các phương trình bậc hai một ẩn.

Ví dụ 8

Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:

a) $2x^2 - 5x - 4 = 0;$

b) $9x^2 - 12x + 4 = 0;$

c) $-3x^2 + 4x - 2 = 0.$

Giải. Với một loại máy tính cầm tay, sau khi mở máy ta bấm phím MODE, 5, 3 để chuyển về chế độ giải phương trình bậc hai.

Tiếp theo, với từng phương trình ta thực hiện như sau:

Tìm nghiệm của phương trình	Bấm phím	Màn hình hiện	Kết luận
$2x^2 - 5x - 4 = 0$	2 = − 5 = − 4 = =	Hình: Màn hình máy tính cầm tay hiển thị $X_1 = \dfrac{5+\sqrt{57}}{4}$. Bấm tiếp phím = Hình: Màn hình máy tính cầm tay hiển thị $X_2 = \dfrac{5-\sqrt{57}}{4}$.	Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \dfrac{5 + \sqrt{57}}{4}; x_2 = \dfrac{5 - \sqrt{57}}{4}$

15

Phương trình	Phím bấm	Màn hình hiển thị	Kết luận
$9x^2 - 12x + 4 = 0$	9 = − 1 2 = 4 = =	Hình: Màn hình máy tính hiển thị $X=$ và kết quả $\dfrac{2}{3}$.	Phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = \dfrac{2}{3}$.
$-3x^2 + 4x - 2 = 0$	− 3 = 4 = − 2 = =	Hình: Màn hình máy tính hiển thị $X_1=$ và kết quả $\dfrac{2}{3} + \dfrac{\sqrt{2}}{3}i$.	Phương trình vô nghiệm.
		Bấm tiếp phím = Hình: Màn hình máy tính hiển thị $X_2=$ và kết quả $\dfrac{2}{3} - \dfrac{\sqrt{2}}{3}i$.

Chú ý. Để hiển thị kết quả xấp xỉ ở dạng số thập phân sau khi nhận kết quả ta bấm phím $[S \Leftrightarrow D]$.

Luyện tập 7

Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:

a) $5x^2 + 2\sqrt{10}x + 2 = 0;$

b) $3x^2 - 5x + 7 = 0;$

c) $4x^2 - 11x + 1 = 0.$

BÀI TẬP

6.8. Đưa các phương trình sau về dạng $ax^2 + bx + c = 0$ và xác định các hệ số $a$, $b$, $c$ của phương trình đó.

a) $3x^2 + 2x - 1 = x^2 - x;$

b) $(2x + 1)^2 = x^2 + 1.$

6.9. Giải các phương trình sau:

a) $2x^2 + \dfrac{1}{3}x = 0;$

b) $(3x + 2)^2 = 5.$

6.10. Không cần giải phương trình, hãy xác định các hệ số $a$, $b$, $c$, tính biệt thức $\Delta$ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) $11x^2 + 13x - 1 = 0;$

b) $9x^2 + 42x + 49 = 0;$

c) $x^2 - 2x + 3 = 0.$

16

6.11. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, giải các phương trình sau:

a) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 2 = 0$;

b) $4x^2 + 28x + 49 = 0$;

c) $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1 = 0$.

6.12. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:

a) $0{,}1x^2 + 2{,}5x - 0{,}2 = 0$;

b) $0{,}01x^2 - 0{,}05x + 0{,}0625 = 0$;

c) $1{,}2x^2 + 0{,}75x + 2{,}5 = 0$.

6.13. Một vật được ném thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu $v_0 = 19{,}6$ m/s. Độ cao $h$ (mét) của vật sau $t$ giây được cho bởi công thức $h = 19{,}6t - 4{,}9t^2$. Hỏi sau bao lâu (tính bằng giây) kể từ lúc ném thì vật chạm đất?

6.14. Hai màn hình ti vi đều có kích thước 37 inch (đo theo đường chéo màn hình). Ti vi truyền thống có tỉ lệ khung hình 4 : 3, ti vi LCD có tỉ lệ khung hình 16 : 9 (hình bên). Hỏi diện tích màn hình ti vi nào lớn hơn?

Hình: Sơ đồ hai màn hình ti vi — bên trái ti vi truyền thống tỉ lệ 4 : 3, đường chéo 37''; bên phải ti vi LCD tỉ lệ 16 : 9, đường chéo 37''.

6.15. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng kém chiều dài 6 m và có diện tích $280$ m$^2$. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

17

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ 1

Cho hai hàm số: $y = \frac{3}{2}x^2$ và $y = -x^2$.

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

b) Tìm điểm $A$ thuộc đồ thị $y = \frac{3}{2}x^2$, điểm $B$ thuộc đồ thị $y = -x^2$, biết rằng $A$ và $B$ đều có hoành độ $x = -\frac{3}{2}$.

Giải

a) Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa $x$ và $y$ của hai hàm số đã cho:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y = \frac{3}{2}x^2$	$6$	$\frac{3}{2}$	$0$	$\frac{3}{2}$	$6$

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y = -x^2$	$-4$	$-1$	$0$	$-1$	$-4$

Từ đó vẽ được đồ thị của hai hàm số này như Hình 6.10:

Hình: Hệ trục $Oxy$ với parabol $y = \frac{3}{2}x^2$ (mở lên, nét đứt đỏ) và parabol $y = -x^2$ (mở xuống, nét liền xanh), ghi chú Hình 6.10.

b) Với $x = -\frac{3}{2}$, thay vào công thức $y = \frac{3}{2}x^2$ ta có: $y = \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{27}{8}$. Vậy $A\left(-\frac{3}{2}; \frac{27}{8}\right)$.

Với $x = -\frac{3}{2}$, thay vào công thức $y = -x^2$ ta có: $y = -\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{9}{4}$. Vậy $B\left(-\frac{3}{2}; -\frac{9}{4}\right)$.

18

Ví dụ 2

Giả sử số lượng cá trong một hồ nào đó tăng, giảm theo công thức:

$P = 50(100 + 15t - t^2), \quad 0 \le t \le 15.$

Ở đây $P$ là số lượng cá trong hồ sau $t$ năm tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2020, khi lần đầu tiên số lượng cá trong hồ được ước tính. Hỏi theo mô hình này, thì:

a) Vào thời điểm nào, số lượng cá trong hồ sẽ là 7 500 con?

b) Vào thời điểm nào, số lượng cá trong hồ sẽ trở lại như tại thời điểm ban đầu vào ngày 01 tháng 01 năm 2020?

Giải

a) Ta cần tìm $t$ sao cho:

$P = 7\ 500$, tức là $50(100 + 15t - t^2) = 7\ 500$, hay $t^2 - 15t + 50 = 0$.

Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm là $t = 5$ hoặc $t = 10$. Cả hai nghiệm này đều thích hợp.

Giá trị $t = 5$ ứng với thời điểm vào ngày 01-01-2025.

Giá trị $t = 10$ ứng với thời điểm vào ngày 01-01-2030.

Vậy theo mô hình đã cho, có hai thời điểm mà số cá trong hồ là 7 500 con, đó là vào ngày 01-01-2025 hoặc vào ngày 01-01-2030.

b) Số lượng cá trong hồ tại thời điểm ban đầu (ngày 01-01-2020) là:

$P(0) = 50 \cdot 100 = 5\ 000$ (con).

Ta cần tìm $t$ sao cho: $P = 5\ 000$, hay $15t - t^2 = 0$, tức là $t = 0$ hoặc $t = 15$.

Giá trị $t = 0$ ứng với thời điểm ban đầu, tức là ngày 01-01-2020.

Giá trị $t = 15$ ứng với thời điểm ngày 01-01-2035.

Vậy theo mô hình đã cho, thì vào ngày 01-01-2035, số lượng cá sẽ trở lại như tại thời điểm ban đầu.

BÀI TẬP

6.16. Biết rằng parabol $y = ax^2$ ($a \ne 0$) đi qua điểm $A(2; 4\sqrt{3})$.

a) Tìm hệ số $a$ và vẽ đồ thị của hàm số $y = ax^2$ với $a$ vừa tìm được.

b) Tìm tung độ của điểm thuộc parabol có hoành độ $x = -1$.

c) Tìm các điểm thuộc parabol có tung độ $y = 5\sqrt{3}$.

19

6.17. Công thức $E = \frac{1}{2}mv^2$ (J) được dùng để tính động năng của một vật có khối lượng $m$ (kg) khi chuyển động với vận tốc $v$ (m/s) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

a)

Giả sử một quả bóng có khối lượng 2 kg đang bay với vận tốc 6 m/s. Tính động năng của quả bóng đó.

b)

Giả sử động năng của quả bóng đang bay có khối lượng 1,5 kg là 48 J, hãy tính vận tốc bay của quả bóng đó.

6.18. Cho hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh $a$ (cm) và chiều cao 10 cm.

a)

Tính diện tích đáy $S$ của hình chóp theo $a$.

b)

Từ kết quả ở câu a, tính thể tích $V$ của hình chóp theo $a$ và tính giá trị của $V$ khi $a = 4$ cm.

c)

Nếu độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp thay đổi thế nào?

6.19. Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn, giải các phương trình sau:

a)

$x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0;$

b)

$3x^2 - 9x + 3 = 0;$

c)

$11x^2 - 13x + 5 = 0;$

d)

$2x^2 + 2\sqrt{6}x + 3 = 0.$

6.20. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm gần đúng của các phương trình sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

a)

$\sqrt{2}x^2 - \sqrt{5}x - 1 = 0;$

b)

$x^2 - (\sqrt{3} - 1)x - \sqrt{7} = 0.$

6.21. Từ một tấm tôn hình vuông, người ta cắt bỏ bốn hình vuông có độ dài cạnh 8 cm ở bốn góc, sau đó gập thành một chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp và có thể tích bằng 200 cm³. Tính độ dài cạnh của tấm tôn hình vuông ban đầu.

6.22. Giả sử doanh thu (nghìn đồng) của một cửa hàng bán phở trong một ngày có thể mô hình hoá bằng công thức $R(x) = x(220 - 4x)$ với $30 \le x \le 50$, trong đó $x$ (nghìn đồng) là giá tiền của một bát phở. Nếu muốn doanh thu trong ngày của cửa hàng đạt 3 triệu đồng thì giá bán của mỗi bát phở phải là bao nhiêu?

20