Bài 21 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
Giải bài toán bằng cách lập phương trình	Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với phương trình bậc hai một ẩn.

Bác Lan gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng với kì hạn 12 tháng theo thể thức lãi kép. Sau năm thứ nhất, do chưa có nhu cầu sử dụng nên bác Lan không rút tiền ra mà tiếp tục gửi 12 tháng nữa, với lãi suất như cũ. Sau hai năm bác Lan rút tiền ra thì nhận được 118,81 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Hỏi lãi suất gửi tiết kiệm là bao nhiêu?

Hình: Biểu tượng quả táo có hình bút chì.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Xét bài toán ở tình huống mở đầu.

HĐ1 Gọi $x$ là lãi suất gửi tiết kiệm của bác Lan ( $x$ được cho dưới dạng số thập phân). Hãy biểu thị số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác Lan sau kì gửi thứ nhất theo $x$ .

HĐ2 Hết kì gửi thứ nhất, bác Lan không rút tiền ra mà tiếp tục gửi tiết kiệm kì thứ hai với lãi suất như cũ. Hãy biểu thị số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác Lan sau kì gửi thứ hai theo $x$ .

HĐ3 Dựa vào đề bài, viết phương trình ẩn $x$ thu được và giải phương trình này để tìm $x$ . Từ đó, trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Nhận xét. Các bước giải một bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1. Lập phương trình:

Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ 1

Một sân bóng đá 7 người có chiều rộng nhỏ hơn chiều dài 30 m và có diện tích bằng $1\,800\,\mathrm{m}^2$ . Tính chiều dài và chiều rộng của sân bóng đó.

Giải

Gọi $x$ (m) là chiều rộng của sân bóng. Điều kiện: $x > 0$ .

Khi đó, chiều dài của sân bóng là $x + 30$ (m).

Theo đề bài, ta có phương trình:

$x(x + 30) = 1\ 800$ hay $x^2 + 30x - 1\ 800 = 0$ .

Ta có: $\Delta' = 15^2 + 1\ 800 = 2\ 025$ , $\sqrt{\Delta'} = 45$ .

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1 = \dfrac{-15 - 45}{1} = -60$ (loại); $x_2 = \dfrac{-15 + 45}{1} = 30$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy sân bóng có chiều dài 60 m và chiều rộng 30 m.

Ví dụ 2

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 36 km. Một tàu du lịch đi từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Thời gian kể từ lúc khởi hành đến khi về đến bến A là 5,5 giờ. Hãy tìm vận tốc thực của tàu du lịch (tức là vận tốc của tàu khi nước yên lặng), biết rằng vận tốc của dòng nước là 3 km/h.

Giải

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc thực của tàu du lịch. Vì vận tốc của dòng nước là 3 km/h nên phải có điều kiện $x > 3$ để tàu có thể chạy ngược dòng.

Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là $x + 3$ (km/h), thời gian để tàu đi xuôi dòng là $\dfrac{36}{x + 3}$ (giờ).

Vận tốc của tàu khi ngược dòng là $x - 3$ (km/h), thời gian để tàu đi ngược dòng là $\dfrac{36}{x - 3}$ (giờ).

Thời gian tàu nghỉ tại bến B là 30 phút = 0,5 giờ.

Theo đề bài, ta có phương trình:

$\dfrac{36}{x + 3} + 0{,}5 + \dfrac{36}{x - 3} = 5{,}5$ hay $\dfrac{36}{x + 3} + \dfrac{36}{x - 3} = 5$ .

Để giải phương trình này, ta quy đồng mẫu vế trái của phương trình:

$\dfrac{36(x - 3) + 36(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 5$ .

Nhân cả hai vế của phương trình với $(x + 3)(x - 3)$ để khử mẫu, ta được phương trình bậc hai

$36(x - 3) + 36(x + 3) = 5(x + 3)(x - 3)$ , hay $5x^2 - 72x - 45 = 0$ .

Ta có: $\Delta' = (-36)^2 - 5 \cdot (-45) = 1\ 521$ ; $\sqrt{\Delta'} = \sqrt{1\ 521} = 39$ .

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1 = \dfrac{36 - 39}{5} = \dfrac{-3}{5}$ (loại); $x_2 = \dfrac{36 + 39}{5} = 15$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy vận tốc thực của tàu du lịch là 15 km/h.

Luyện tập

Một đội xe gồm các xe tải cùng loại, cần phải chở 120 tấn hàng. Tuy nhiên khi làm việc, có hai xe phải điều chuyển đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 3 tấn hàng. Hỏi đội xe đó có bao nhiêu chiếc xe tải?

BÀI TẬP

6.28. Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $360\ \text{m}^2$ . Nếu tăng chiều rộng $3\ \text{m}$ và giảm chiều dài $4\ \text{m}$ thì diện tích mảnh đất không đổi. Tìm các kích thước của mảnh đất đó.

6.29. Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ $1\ 200\ 000$ người lên $1\ 452\ 000$ người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?

6.30. Một thanh sô cô la có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $12\ \text{cm}$ , chiều rộng $7\ \text{cm}$ và độ dày $3\ \text{cm}$ . Do giá nguyên liệu ca cao tăng nhưng vẫn muốn giữ nguyên giá bán nên nhà sản xuất quyết định giảm $10\%$ thể tích của mỗi thanh sô cô la. Để thực hiện việc này, nhà sản xuất dự định làm thanh sô cô la mới có cùng độ dày $3\ \text{cm}$ như thanh cũ, nhưng chiều dài và chiều rộng sẽ giảm đi cùng một số xentimét. Hỏi kích thước của thanh sô cô la mới là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của $\text{cm}$ )?

6.31. Một máy bay khởi hành từ Hà Nội vào Thành phố Hồ Chí Minh, sau đó nghỉ $96$ phút và tiếp tục bay về Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là $100\ \text{km/h}$ . Tổng thời gian của cả hành trình, kể từ khi xuất phát từ Hà Nội đến khi quay về Hà Nội là $6$ giờ. Tính vận tốc của máy bay lúc đi, biết quãng đường bay Hà Nội – Thành phố Hồ Chí Minh dài khoảng $1\ 200\ \text{km}$ .

6.32. Một ô tô khách khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng. Sau đó $30$ phút, một ô tô con xuất phát từ cùng địa điểm ở Hà Nội và cũng đi về Hải Phòng trên cùng tuyến đường, với vận tốc lớn hơn vận tốc của ô tô khách là $20\ \text{km/h}$ . Hai xe đến cùng một địa điểm ở Hải Phòng tại cùng một thời điểm. Hãy tính vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng quãng đường Hà Nội – Hải Phòng dài khoảng $120\ \text{km}$ .

6.33. Một xưởng may phải may $1\ 500$ chiếc áo trong thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn $10$ chiếc áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Do đó, ba ngày trước khi hết thời hạn, xưởng đã may được $1\ 320$ áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng đó phải may xong bao nhiêu chiếc áo?

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ 1

Cho phương trình bậc hai: $x^2 - 7x + 5 = 0$ .

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ .

b) Tính $A = x_1^2 + x_2^2$ .

Giải

a) Ta có: $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 29 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ .

b) Theo định lí Viète, ta có: $x_1 + x_2 = 7$ , $x_1x_2 = 5$ .

Do đó $A = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 7^2 - 2 \cdot 5 = 39$ .

Ví dụ 2

Có hai miếng kim loại: miếng thứ nhất nặng 600 g; miếng thứ hai nặng 640 g. Thể tích của miếng thứ nhất lớn hơn thể tích của miếng thứ hai là 120 cm $^3$ , nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất nhỏ hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 5 g/cm $^3$ . Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.

Giải

Gọi $x$ (g/cm $^3$ ) là khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất. Điều kiện: $x > 0$ .

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là $x + 5$ (g/cm $^3$ ).

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là $\frac{600}{x}$ (cm $^3$ ).

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là $\frac{640}{x + 5}$ (cm $^3$ ).

Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{600}{x} - \frac{640}{x + 5} = 120$ .

Nhân cả hai vế của phương trình với $x(x + 5)$ để khử mẫu, ta được:

$600(x + 5) - 640x = 120x(x + 5)$ , hay $3x^2 + 16x - 75 = 0$ .

Ta có: $\Delta' = 8^2 - 3 \cdot (-75) = 289$ ; $\sqrt{\Delta'} = 17$ .

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1 = \frac{-8 - 17}{3} = \frac{-25}{3}$ (loại); $x_2 = \frac{-8 + 17}{3} = 3$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 3 g/cm $^3$ và khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là 8 g/cm $^3$ .

BÀI TẬP

6.34 Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $\sqrt{2}x^2 - (\sqrt{2} + 1)x + 1 = 0;$

b) $2x^2 + (\sqrt{3} - 1)x - 3 + \sqrt{3} = 0.$

6.35 Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $x^2 - 5x + 3 = 0$ . Không giải phương trình, hãy tính:

a) $x_1^2 + x_2^2;$

b) $(x_1 - x_2)^2.$

6.36 Tìm hai số $u$ và $v$ , biết:

a) $u + v = 15$ , $uv = 56;$

b) $u^2 + v^2 = 125$ , $uv = 22.$

6.37 Một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật, không có nắp, có đáy là hình vuông, tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là $800\ \text{cm}^2$ . Chiều cao của hộp là $10\ \text{cm}$ . Tính độ dài cạnh đáy của chiếc hộp (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của cm).

6.38 Nhu cầu của khách hàng đối với một loại áo phông tại một cửa hàng được cho bởi phương trình $p = 100 - 0{,}02x$ , trong đó $p$ là giá tiền của mỗi chiếc áo (nghìn đồng) và $x$ là số lượng áo phông bán được. Doanh thu $R$ (nghìn đồng) khi bán được $x$ chiếc áo phông là:

$R = xp = x(100 - 0{,}02x).$

Hỏi cần phải bán được bao nhiêu chiếc áo phông để doanh thu đạt $120$ triệu đồng?

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI

A. TRẮC NGHIỆM

6.39. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$ ?

A. $(1; 2)$
B. $(2; 1)$
C. $(-1; 2)$
D. $(1; \dfrac{1}{2})$

6.40. Cho Hình 6.11. Khẳng định nào sau đây đúng về dấu của các hệ số $a$ , $b$ trong hai hàm số $y = ax^2$ và $y = bx^2$ ?

Hình: Hình 6.11 — trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ có hai parabol cùng đi qua gốc $O$ : parabol $y = ax^2$ mở bề lõm lên phía trên trục $Ox$ ; parabol $y = bx^2$ mở bề lõm xuống phía dưới trục $Ox$ .

A. $a < 0 < b$
B. $a < b < 0$
C. $a > b > 0$
D. $a > 0 > b$

6.41. Nghiệm của phương trình $x^2 + 7x + 12 = 0$ là:

A. $x_1 = -3; x_2 = -4$
B. $x_1 = 3; x_2 = 4$
C. $x_1 = -3; x_2 = 4$
D. $x_1 = 3; x_2 = -4$

6.42. Phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1 = 13$ và $x_2 = 25$ là:

A. $x^2 + 38x + 325 = 0$
B. $x^2 - 38x + 325 = 0$
C. $x^2 + 38x - 325 = 0$
D. $x^2 - 38x - 325 = 0$

6.43. Cho phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ . Tính $A = x_1^2 + x_2^2$ .

A. $13$
B. $19$
C. $25$
D. $5$

6.44. Một hình chữ nhật có chu vi bằng $20\ \text{cm}$ và diện tích bằng $24\ \text{cm}^2$ . Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó lần lượt là:

A. $6\ \text{cm}$ và $4\ \text{cm}$
B. $8\ \text{cm}$ và $3\ \text{cm}$
C. $5\ \text{cm}$ và $4\ \text{cm}$
D. $7\ \text{cm}$ và $3\ \text{cm}$

B. TỰ LUẬN

6.45. Vẽ đồ thị hai hàm số $y = \dfrac{5}{2}x^2$ và $y = -\dfrac{5}{2}x^2$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

6.46. Cho hàm số $y = ax^2$ . Tìm $a$ biết đồ thị của hàm số đi qua điểm $A(3; 3)$ . Vẽ đồ thị hàm số đó.

6.47. Giải các phương trình sau:

a) $5x^2 - 6\sqrt{5}x + 2 = 0$

b) $2x^2 - 2\sqrt{6}x + 3 = 0$

Lưu ý: Tôi không xem được ảnh gốc trực tiếp; phần 6.41–6.44 (cụm A/B/C/D và cách diễn đạt từng câu) có thể lệch vài từ so với SGK. Nếu bạn gửi lại ảnh rõ hơn hoặc chụp riêng khối trắc nghiệm, tôi chỉnh cho khớp từng dòng in.

6.48. Cho phương trình $x^2 - 11x + 30 = 0$ . Gọi $x_1$ , $x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:

a) $x_1^2 + x_2^2$ ;

b) $x_1^3 + x_2^3$ .

6.49. Tìm hai số $u$ và $v$ , biết:

a) $u + v = 13$ và $uv = 40$ ;

b) $u - v = 4$ và $uv = 77$ .

6.50. Các kĩ sư đảm bảo an toàn của đường cao tốc thường sử dụng công thức $d = 0{,}05v^2 + 1{,}1v$ để ước tính khoảng cách an toàn tối thiểu $d$ (feet) (tức là độ dài quãng đường mà xe đi được kể từ khi đạp phanh đến khi xe dừng lại) đối với một phương tiện di chuyển với tốc độ $v$ (dặm/giờ) (theo Algebra 2, NXB McGraw-Hill, 2008). Giả sử giới hạn tốc độ trên một đường cao tốc nào đó là 70 dặm/giờ. Nếu một ô tô có thể dừng lại sau 300 feet kể từ khi đạp phanh thì ô tô đó có chạy nhanh hơn giới hạn tốc độ của đường cao tốc này không?

6.51. Bác Hương gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 12 tháng. Sau một năm, do chưa có nhu cầu sử dụng nên bác chưa rút số tiết kiệm này ra mà gửi tiếp và gửi thêm một sổ tiết kiệm mới với số tiền 50 triệu đồng, cũng với kì hạn 12 tháng. Sau hai năm (kể từ khi gửi lần đầu), bác Hương nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là 176 triệu đồng. Tính lãi suất năm của hình thức gửi tiết kiệm này (giả sử lãi suất không đổi trong suốt quá trình gửi).

6.52. Hai khối học sinh lớp 8 và lớp 9 của một trường trung học cơ sở tham gia lao động. Nếu làm chung thì sẽ hoàn thành công việc sau 1 giờ 12 phút. Nếu mỗi khối lớp làm riêng thì khối lớp 9 làm xong nhanh hơn khối lớp 8 là 1 giờ. Hỏi nếu mỗi khối lớp làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Ghi chú nhỏ (chỉ khi bạn muốn khớp sách in hơn): Trong công thức 6.50, sách in dùng dấu phẩy thập phân (0,05, 1,1). Trong Markdown/LaTeX có thể giữ nguyên 0,05 và 1,1 trong công thức nếu renderer của bạn hỗ trợ; nếu không, dùng $0{,}05$ và $1{,}1$ như trên. Tên sách Algebra 2 thường in nghiêng trên trang — tôi dùng ... cho đúng kiểu sách. Trang này không có dòng “Chương”/“Bài”, nên không thêm # Chương / # Bài. Watermark “KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG” không phải nội dung bài nên không chép.