Bài 20 ĐỊNH LÍ VIÈTE VÀ ỨNG DỤNG

Khái niệm, thuật ngữ: Định lí Viète

Kiến thức, kĩ năng:

Giải thích định lí Viète.
Vận dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.

Bác An có 40 m hàng rào lưới thép. Bác muốn dùng nó để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 96 $m^2$ để trồng rau. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Hình: Mảnh vườn hình chữ nhật được rào bằng lưới thép, bên trong có cây rau.

1 ĐỊNH LÍ VIÈTE

Khám phá định lí Viète

Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \neq 0$ ). Giả sử $\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$ .

HĐ1 Nhắc lại công thức tính hai nghiệm $x_1, x_2$ của phương trình trên.

HĐ2 Từ kết quả HĐ1, hãy tính $x_1 + x_2$ và $x_1 x_2$ .

Từ kết quả HĐ2, ta có định lí Viète như sau:

Nếu $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \neq 0$ ) thì $\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\ x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}.$

Ví dụ 1

Không giải phương trình, hãy tính biệt thức $\Delta$ (hoặc $\Delta'$ ) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:

a) $2x^2 + 11x + 7 = 0$ ;

b) $4x^2 - 12x + 9 = 0$ .

Giải

a) Ta có: $\Delta = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 65 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ . Theo định lí Viète, ta có: $x_1 + x_2 = -\dfrac{11}{2}$ ; $x_1 x_2 = \dfrac{7}{2}$ .

b) Ta có: $\Delta' = (-6)^2 - 4 \cdot 9 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm trùng nhau $x_1, x_2$ .

Theo định lí Viète, ta có: $x_1 + x_2 = -\dfrac{-12}{4} = 3$ ; $\quad x_1x_2 = \dfrac{9}{4}$ .

Luyện tập 1

a) $2x^2 - 7x + 3 = 0$ ;

b) $25x^2 - 20x + 4 = 0$ ;

c) $2\sqrt{2}x^2 - 4 = 0$ .

Tranh luận

Hình: Một nhân vật mặt trời hoạt hình đeo kính đang chỉ vào bóng nói chứa nội dung tranh luận.

Không cần giải, tớ biết ngay tổng và tích hai nghiệm của phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ đều bằng 1.

Ý kiến của em thế nào?

2 ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VIÈTE ĐỂ TÍNH NHẨM NGHIỆM

Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó

HĐ3

Cho phương trình $2x^2 - 7x + 5 = 0$ .

a) Xác định các hệ số $a, b, c$ rồi tính $a + b + c$ .

b) Chứng tỏ rằng $x_1 = 1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại $x_2$ của phương trình.

HĐ4

Cho phương trình $3x^2 + 5x + 2 = 0$ .

a) Xác định các hệ số $a, b, c$ rồi tính $a - b + c$ .

b) Chứng tỏ rằng $x_1 = -1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại $x_2$ của phương trình.

Xét phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \neq 0$ ).

Nếu $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1 = 1$ , còn nghiệm kia là $x_2 = \dfrac{c}{a}$ .
Nếu $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1 = -1$ , còn nghiệm kia là $x_2 = -\dfrac{c}{a}$ .

Ví dụ 2

Bằng cách nhẩm nghiệm, hãy giải các phương trình sau:

a) $x^2 - 6x + 5 = 0;$

b) $5x^2 + 14x + 9 = 0.$

Giải

a) Ta có: $a + b + c = 1 + (-6) + 5 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 1$ , $x_2 = 5.$

b) Ta có: $a - b + c = 5 - 14 + 9 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -1$ , $x_2 = -\dfrac{9}{5}.$

Ví dụ 3

Giải phương trình $x^2 - 7x + 12 = 0$ , biết phương trình có một nghiệm là $x_1 = 3.$

Giải

Gọi $x_2$ là nghiệm còn lại của phương trình. Theo định lí Viète, ta có: $x_1x_2 = 12.$

Do đó, $x_2 = \dfrac{12}{x_1} = \dfrac{12}{3} = 4.$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 3$ , $x_2 = 4.$

Luyện tập 2

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $3x^2 - 11x + 8 = 0;$

b) $4x^2 + 15x + 11 = 0;$

c) $x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 = 0$ , biết phương trình có một nghiệm là $x = -\sqrt{2}.$

Thử thách nhỏ

Hình: Hai nhân vật hoạt hình (hình vuông màu xanh và hình tròn màu vàng) đang trao đổi ý kiến.

Vuông: Hãy tìm một phương trình bậc hai mà tổng và tích các nghiệm của phương trình là hai số đối nhau.

Tròn: Tớ tìm ra rồi! Đó là phương trình $x^2 + x + 1 = 0.$

Em có đồng ý với ý kiến của Tròn không? Vì sao?

3 TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Thiết lập phương trình bậc hai để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

HĐ5

Giả sử hai số có tổng $S = 5$ và tích $P = 6$ . Thực hiện các bước sau để lập phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm.

a) Gọi một số là $x$ . Tính số kia theo $x$ .

b) Sử dụng kết quả câu a và giả thiết, hãy lập phương trình để tìm $x$ .

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: $x^2 - Sx + P = 0.$

Điều kiện để có hai số đó là $S^2 - 4P \ge 0.$

Ví dụ 4

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 9, tích của chúng bằng 20.

Giải

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình $x^2 - 9x + 20 = 0$ .

Ta có: $\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1$ ; $\sqrt{\Delta} = 1$ .

Suy ra phương trình có hai nghiệm: $x_1 = \dfrac{9-1}{2} = 4$ ; $x_2 = \dfrac{9+1}{2} = 5$ .

Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.

Luyện tập 3

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng $-11$ , tích của chúng bằng 28.

Vận dụng

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

BÀI TẬP

6.23 Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:

a) $x^2 - 12x + 8 = 0$ ;

b) $2x^2 + 11x - 5 = 0$ ;

c) $3x^2 - 10 = 0$ ;

d) $x^2 - x + 3 = 0$ .

6.24 Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $2x^2 - 9x + 7 = 0$ ;

b) $3x^2 + 11x + 8 = 0$ ;

c) $7x^2 - 15x + 2 = 0$ , biết phương trình có một nghiệm $x_1 = 2$ .

6.25 Tìm hai số $u$ và $v$ , biết:

a) $u + v = 20$ , $uv = 99$ ;

b) $u + v = 2$ , $uv = 15$ .

6.26 Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2$ thì đa thức $ax^2 + bx + c$ phân tích được thành nhân tử như sau: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2 + 11x + 18$ ;

b) $3x^2 + 5x - 2$ .

6.27 Một bể bơi hình chữ nhật có diện tích $300\ \text{m}^2$ và chu vi là 74 m. Tính các kích thước của bể bơi này.